Sinussatz, Cosinussatz, NPR, Lineare Und Quadratische Funktionen

Sinussatz:

$\frac{a}{sin(\alpha)} = \frac{b}{sin(\beta)} = \frac{c}{sin(\gamma)}$

Cosinussatz:

Wenn die beiden Ankatheten und der Winkel vonαgegeben sind, dann ist a²:

a² = b² + c² − 2bc * cos(α)

Wenn alle Seiten gegeben ist, dann ist α**:**

a² = b² + c² − 2bc * cos(α) |  − b² − c²

a² − b² − c²=  − 2bc * cos(α) |  ÷  − 2bc

$\frac{a² - b² - c²}{- 2bc} = \ cos(\alpha)\ |\ arccos()$ → minus Cosinus

$\alpha = co{s^{}}^{- 1}(\frac{a² - b² - c²}{- 2bc})$

Null Produktregel (NPR):

Beispiel:

+/- 3 +2 -2

Lineare Funktionen:

Grundform:

f(x) = mx + b

b = Y-Achsenabschnitt

m = Steigung

Steigung:

$m = \frac{p1(y) - p2(y)}{p1(x) - p2(x)}$

Y-Achsenabschnitt:

b = p1(y) − (m * p1(x))

Gleichung aufstellen, wenn zwei Punkte gegeben sind gegeben ist (Beispiel):

p1(4 | 6)

p2(2 | 8)

1. Steigung bestimmen:

$m = \ - 1 = \frac{4 - 2}{6 - 8}$

1. Y-Achsenabschnitt bestimmen:

b = p1(y) − (m * p1(x))

Länge (l) zwischen zwei Punkten berechnen (differenzen aus den Punkten von x und y ziehen, anschließend SdP. verwenden):

l=

Schnittpunkt von Zwei linearen Funktionen finden:

1. Die beiden Funktionen gleichsetzen und auf X umformen:

m1 * x + b1 = m2 * x + b2

1. X in eine Gleichung einsetzen, um Y herauszufinden.

Beispiel:

2x + 4=  − 4x + 3 | + 4x

6x + 4 = 3 |  − 4

6x =  − 1 |  ÷ 6

$x = \ - \frac{1}{6}$

$f(x) = 2* - \frac{1}{6} + 4 = \frac{11}{3}$

Quadratische Funktionen:

Verschiedene Formen:

1. Allgemeine Form:

f(x) = ax² + bx + c

1. Scheitelpunktform:

f(x) = a * (x − Spx)² + Spy

1. Nullstellenform:

f(x) = a * (x − n1) * (x − n2)

Wenn man das Vorzeichen von a ändert, spiegelt sich die Parabel an der X-Achse.

Scheitelpunktform in Allgemeine Form (binomische Formel anwenden und ausklammern):

Beispiel:

f(x) = 2 * (x − 3)² + 4

f(x) = 2 * ((x − 3) * (x − 3)) + 4

f(x) = 2 * (x² − 6x + 9) + 4

f(x) = 2x² − 12x + 18 + 4

f(x) = 2x² − 12x + 22

pq-Formel:

$x{}_{1/2} = \ - \frac{p}{2} \pm$

Allgemeine Form in p-q-Form:

ax² + bx + c = 0 |  ÷ a

$x² + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$

b/a ist gleich p und c/a ist gleich q:

x² + px + q = 0

Mit der p-q-Formel kann man jetzt die Nullstellen ausrechnen, wenn es welche gibt. Mit Hilfe der Nullstellen kann man die Nullstellenform bilden. Dabei ist zu beachten, dass

Wenn das Ergebnis innerhalb der Wurzel < 0 ist, dann gibt es keine Nullstellen.

Wenn das Ergebnis = 0 ist, dann gibt es genau eine Nullstelle.

Wenn das Ergebnis > 0 ist, dann gibt es 2 Nullstellen.

Wenn a und c die gleichen Vorzeichen haben, dann gibt es keine Nullstellen.

WICHTIG! Man muss immer die Vorzeichen von p und q mitnehmen. Wenn also in der Gleichung steht:

x² + 2x − 7 = 0

Hier ist q in der pq-Formel nicht -7 sondern +7!

Umformung zusammengefasst:

Von Allgemeine Form zu Nullstellenform: p-q-Formel.

Von Nullstellenform zu Scheitelpunktform: x = (x1+x2)/2

Von Scheitelpunktform zur allgemeinen Form: Binomische Formel + Ausklammern

Wenn es keine Nullstellen gibt, man aber von der Allgemeinen Form in die Scheitelpunktform kommen möchte, muss man die quadratische Ergänzung: