Klausur 30.09.2022 (S1)

Mathe - Klassenarbeit 30.09.2022

Themen

• Differentialrechnung
• Kurvendiskussion (EP, WP, NS)
• Ableitungsregeln
• Optimierungsaufgaben / Textaufgabe zu Extremwerten
• Aufgaben zum üben: Mathematik Abitur Aufgaben

Differentialrechnung

f(x)	f′(x)
f(x) = xn	f′(x) = nxn − 1 (rationale Fkt.)
n = 0: f(x) = x0 = 1	f′(x) = 0
Summen- & Differenzregel:
f(x) = x2 + x4	f′(x) = 2x + 4x3
Produkt aus 2 Fkt. (Produktregel):
f(x) = u(x) * v(x)	f′(x) = u′(x) * v(x) + u(x) * v′(x)
Quotientenregel:
$f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$	$f’(x) = \frac{u’(x)*v(x) - v’(x)*u(x)}{v(x)²}$
Konstante Faktoren bleiben bestehen
Konstante werden gestrichen

Beispiele

| $f(x) = 2x^{\frac{3}{2}} + x + 2$ $f(x) = \ \Rightarrow \ x^{\frac{1}{2}}$ $f(x) = \frac{2}{x^{3}}\ \Rightarrow \ 2x^{- 3}$ $f(x) = \sqrt[3]{\frac{1}{x^{4}}}\ \Rightarrow \ \sqrt[3]{x^{- 4}}\ \Rightarrow \ x^{- \ \frac{4}{3}}$ $f(x) = ({\frac{x}{4})}^{4}\ \Rightarrow \ \frac{x^{4}}{4^{4}}$ $f(x) = ({\frac{2}{x})}^{3}\ \Rightarrow \ \frac{2^{3}}{x^{3}}$GB $f(x) = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x}\ \Rightarrow \ x^{- \ \frac{1}{2}}$ Produktregel: Quotientenregel: | $f’(x) = 3x^{\frac{1}{2}} + 1$ $f’(x) = \frac{1}{2}x^{- \ \frac{1}{2}}$ f′(x) =  − 6x − 4 $f’(x) = - \frac{4}{3}x^{- \ \frac{7}{3}}$ $f’(x) = \frac{4}{256}x^{3}$ f′(x) = 8x − 4 $f’(x) = - \frac{1}{2}x^{- \ \frac{3}{2}}\ \Rightarrow \ - \frac{1}{2x^{\frac{3}{2}}}$ | | --- | --- |

Kurvendiskussion

Extrempunkt

(EP)

$EP = f′(x)NS$

solange…

$f″(xe) ≠ 0$

Nullstelle

(NS)

pq-Formel anwenden:

$x_{0,\ 1} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p}{2}^2-q}$

Wendepunkt

(WP)

$WP = f′(x)NS$

solange…

$f″(f′(x)NS) = 0$

Nullstellen der ersten Ableitung in die zweite Ableitung einsetzen. Wenn das Ergebnis 0 ist, dann handelt es sich um einen Wendepunkt.

Hinreichende Bedingung (Wendepunkt Oder Extrempunkt)

f″(xe) ≠ 0

Solange die zweite Ableitung keine Nullstelle an der Extremstelle hat, dann hat die erste Ableitung dort keine Extremstelle und die Ausgangsfunktion keinen Wendepunkt. Dann handelt es sich an der Stelle um ein Extremum.

Notwendige Bedingung (ist Die Steigung 0)

f′(xe) = 0

Die resultierenden X-Werte sind nicht zwangsläufig Extremstellen. Es könnte sich auch um eine Wendestelle (Sattelpunkt) handeln, da dort auch die Steigung 0 sein kann.

Potenzgesetze

$\sqrt[n]{x^{e}} = x^{\frac{e}{n}}$

(ab)c = ab * c

$\frac{x^{a}}{x^{b}} = x^{a - b}$

xa * xb = xa + b

$\frac{a^{m}}{b^{m}} = (\frac{a}{b})^{m}$

$\frac{n}{\text{ax}^{e}} = \frac{n}{a}x^{- \ e}$

Ableitungsregeln

| f(x) = axn f(x) = a f(x) = ax | f′(x) = naxn − 1 f′(x) = 0 f′(x) = a | | --- | --- |