Bernoulli und Binomial-Verteilung
Merke: Wahrscheinlichkeitsfunktion zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit eines ganz konkreten Ergebnisses. (Diskrete) Verteilungsfunktion zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit in einem Intervall/Abschnitt.
Bernoulli
Bernoulli-Versuch
Ein Bernoulli-Versuch ist ein Zufallsversuch, bei dem man sich nur dafür interessiert, ob ein bestimmtes Ereignis (Treffer) eintritt oder nicht.
Bernoulli-Kette (T. S. 48)
Eine Bernoulli-Kette ist eine Serie unabhängiger Bernoulli-Versuche. Die Treffer-Wahrscheinlichkeit ist bei jedem Bernoulli-Versuch gleich.
Wahrscheinlichkeitsfunktion
Um die Wahrscheinlichkeit für genau $k$ Treffer zu berechnen: $$ P(X=k) = {n \choose k}\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} $$ $p$ ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer eines Bernoulli-Versuchs. $k$ ist die gewünschte Anzahl an Treffer. $n$ ist die Anzahl der Versuche.
Der erste Faktor $n\choose k$ beschreibt die Anzahl der Pfade bzw. Kombinationen. Der zweite Faktor beschreibt die Wahrscheinlichkeit für die Treffer in der Kombination und der dritte Faktor bezeichnet die Gegenwahrscheinlichkeit, also kein Treffer.
Um die Wahrscheinlichkeit für eine Mindestzahl an Versuchen zu berechnen, muss man alle Einzelwahrscheinlichkeiten addieren, oder die Einzelgegenwahrscheinlichkeiten von 1 abziehen (siehe [[#Diskrete Verteilungsfunktion]]).
Beispiel
Wie ist die Wahrscheinlichkeit bei 10 Würfen genau 3 mal eine 6 zu würfeln.
$p$ ist $\frac{1}{6}$, was der Einzelwahrscheinlichkeit eine 6 zu würfeln entspricht. $k$ ist $3$. $n$ ist $10$.
Setzt man nun die Werte in die Formel ein, kommt man auf: $$ P(X=3) = {10 \choose 3}\cdot (\frac{1}{6})^3 \cdot (1-\frac{1}{6})^{10-3} = 0.155 $$
Diskrete Verteilungsfunktion
Die diskrete Verteilungsfunktion ist eine [[Verteilungsfunktionen|Verteilungsfunktion]], um die Wahrscheinlichkeit für alle diskreten $X$ mit der Bedingung $(X \leq x)$: $$ F_p(x) = \sum_{i=0}^{x}{{n\choose i} \cdot p^i \cdot (1-p)^{n-i}} $$ $x$ die rechte Grenze des Integrals. $p$ ist die Wahrscheinlichkeit eines [[#Bernoulli-Versuch|Bernoulli-Versuchs]].
Beispiel
Wie ist die Wahrscheinlichkeit bei 10 Würfen mindestens 2 mal eine 6 zu würfeln?
$p$ ist $\frac{1}{6}$. $k$ ist $\geq 2$. $n$ ist $10$.
Setzt man nun die Werte in die Formel ein, kommt man auf: $$ P(X \leq 2) = 1 - \sum_{i=0}^{2 - 1}{{10 \choose i} \cdot (\frac{1}{6})^i \cdot (1 - \frac{1}{6})^{10-i}} = 0.485 $$
Binomial-Verteilung
Die Binomial-Verteilung ist eine diskrete [[Verteilungsfunktionen#Wahrscheinlichkeitsverteilung|Wahrscheinlichkeitsverteilung]], d.h. es gibt eine endliche Anzahl an Werte für $x$. Sie beschreibt die Anzahl der Erfolge einer [[#Bernoulli-Kette (T. S. 48)|Bernoulli-Kette]].
Erwartungswert: $E(X) = n \cdot p$ Varianz: $V(X) = E(X) \cdot ( 1 - p )$ Standardabweichung: $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$