An Extremstellen (und nur da) ändert sich das Monotonieverhalten! Was ist eine Nullstelle? 0 = f(x) g.d.w. Sei f(x) eine Funktion auf ℝ dann heißt x0 ∈ ℝ NS von f(x) g.d.w. f(x0) = 0

Definitionsbereich und Wertebereich einer Funktion: $f(x)\ = \ \frac{1}{x}$ Definitionsbereich = x ∈ ℝ  ∩  x ≠ 0 Wertebereich = f(X) ∈ ℝ ∩ f(X)≠ 0 ∩ = und; ∪ = oder Definitionsbereich = Alle Werte, die X sein dürfen Wertebereich = Alle Werte, die bei f(x) herauskommen. Eine Funktion heißt stetig g.d.w. sie mit einem Strich gezeichnet werden kann, ohne abzusetzen. Beispiel: x²; Gegenbeispiel: 1/x

Sekantenanstieg: Betrachte s(t) = 2t² + 4t

• skizziere die Funktion - Check
• Bestimme die Durchschnittsgeschw.

Intervalle: zw. t∈[0, 1] = Ø 6 s/t t∈[-1, 3] = Ø 8 s/t t∈[0, 2] = Ø 8 s/t Durschnittsgeschw. (Ø) = $\frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ bzw. $\frac{\text{Δy}}{\text{Δx}}$ Durchschnittliche / Mittlere Geschwindigkeit zwischen Punkten ⇔ Anstieg der Gerade, die durch die 2 Punkte führt! Die Gerade schneidet die Funktion in 2 Punkten. Analog zum Kreis heißt die Gerade dann (auch) Sekante. Wir haben also den Sekantenanstieg berechnet!!

• mittlere Änderungsrate
• durchschnittliche Änderungsrate

Beispiel 2: $f(x) = \frac{1}{2}x^{4} + 3x - 2$ x∈[0, 1] = x∈[-2, 2] = x∈[-1/4, 4] = $y1 = - \frac{1407}{512}\ y2 = 138$ == 31,824 = -0,3849602 Beispiel 3: f(x) = 10x² + 3 g(x) = log10(x)

Von der durchschnittlichen zur momentanen Änderungsrate - Die Anstiegsfunktion Anstieg einer Funktion an einer Stelle (ein Punkt):

Funktionen, bei denen man die Tangente nicht eindeutig bestimmen kann, heißen (an diesen Stellen) nicht differenzierbar. An der Stelle p(0|0) der Funktion f(x)=|x| ist sie nicht differenzierbar. Anstiegsfunktion: Anstiege an allen x-Stellen: x → Anstieg von f (x) f ’ (x) 1. Ableitung von f(x), beschreibt den Anstieg von f (x) bei allen x∈ⅅ⊂ℝ

Ableitung = lokaler Anstieg = Tangentensteigung = momentane Änderungsrate s (t) ’ = v (t) s ’’ (t) = v(t)’ = a (t) Zum Zusammenhang zwischen f(x) und f ‘ (x): f ‘ (x) beschreibt den Anstieg der Funktion f(x) (Tangentenanstieg = 1 Punkt, wo der Anstieg berechnet wird). Extremstellen von f(x) sind Nullstellen von f ‘ (x). f ‘ (XE) = 0 (XE = Extremstelle) Skizziere die Ableitung zu: f(x) = (x+3)*(x-4)*x g(x) = sin(x) h(x) = sin(x)/x sei f ‘ (x) = 2x skizziere f(x) g ‘ (x) = -2x² skizziere g(x) sin(x) ‘ = cos(x) Wie berechnet man die Änderungsrate? x1 − x0 = h x1 = x0 + h f(x) = f(x0 + h) − f(x0) $m = \frac{f(x_{0} + h) - f(x_{0})}{h}$o Grenzwertprozess: limes h->0 Sekantenanstieg = Tangentenanstieg $m = \frac{f(x_{0} + h) - f(x_{0})}{h}$ limes h −  > 0

1. Schreibe die Funktionswerte für x0 und x0+h
2. vereinfache
3. “setze” h=0
4. Das Ergebnis ist der Tangentenanstieg bei X0

Beispiel: f(x) = x² x0 = 2 gesucht: f ′ (x0) 1. $\frac{\text{limes}}{h - > 0}\ \frac{f(x_{0} + h) - f(x_{0})}{h}$ einsetzen: $\frac{\text{limes}}{h - > 0}\ \frac{f(2 + h) - f(2)}{h}$ $\frac{\text{limes}}{h - > 0}\ \frac{(2 + h)² - 2²}{h}$ 2. umformen: $\frac{\text{limes}}{h - > 0}\ \frac{4 + 4h + h² - 4}{h} = \frac{4h + h²}{h}$ $= \frac{4h + h²}{h}\ |/h$ $\frac{\text{limes}}{h - > 0}\ 4 + h = 4$ f(x) = 4 + 2x * x3 Ableitungsfunktionen bestimmen ohne lim h→0 Methode:

1. Regel:

Von f (x) = x² ist die Ableitungsfunktion: f ‘ (x) = 2x

1. Regel:

Von f (x) = xn ist die Ableitungsfunktion: f ‘ (x) = n*xn-1

HIER:

f(x) = sin(x2)

f′(x) = cos(x2) * 2x

$f(x) = \frac{x}{x^{2} - 1} = x*{(x - 1)}^{- 2}$

f(x) =  − 2(x − 1) − 3

$\frac{n}{x^{e}} = n*x^{- e}$

$\frac{n}{x^{e}} = nx^{- e}$

https://www.youtube.com/watch?v=fK9SRATRbDQ

KETTENREGEL:

f(x) = u(v(x))

f′(x) = u′(v(x)) * v′(x)

Ganzrationale Funktionen / Polynome:

| Summe: | f (x) = u (x) + v (x) f (x) = 5 + x7 | f ‘ (x) = u ‘ (x) + v ’ (x) f ‘ (x) = 0 + 7 * x7-1 | | --- | --- | --- | | Produkt: | f (x) = 𝛼 * u (x) f (x) = 3 * x² | f (x) = 𝛼 * u ‘ (x) f ‘ (x) = 3*2x1 = 6x |

Konstante Faktoren bleiben erhalten. Konstanten in einer Summe verschwinden. Die Ableitung der Summe ist die Summe der Ableitungen der Einzelfunktionen.

$s(t) = \frac{1}{2}10t² + 3t + 1$

s ′ (t) = 10t + 3

$f(x) = \frac{1}{2}(x + 1)(x - 2)$

$f(x) = \frac{1}{2}2x - \frac{1}{2}$

Der Punkt einer Funktion, bei dem sich das Krümmungsverhalten ändert, heißt Wendepunkt.

Das Krümmungsverhalten ist entweder rechts oder links gekrümmt. Links gekrümmt, wenn sich die funktion auf dem Graphen von -x nach +x nach links dreht, dann ist die links gekrümmt.

1. Parabel, Konstante
2. x³ und x5
3. sin(x) mit dem Intervall [-4, 2]

| Grad (maximaler Exponent) | EP (Extrempunkt) | WP (Wendepunkt) | NS (Nullstelle, maximal möglich) | | --- | --- | --- | --- | | 0 | 0 | 0 | 0 | | 1 | 0 | 0 | 1 | | 2 | 1 | 0 | 2 | | 3 | 2 | 1 | 3 | | n | n-1 | n-2 | n |

$\sqrt[n]{x^{e}} = x^{\frac{e}{n}}$

ab * ac = ab + c

$\frac{n}{x^{e}} = nx^{- e}$

f(x) = u(v(x))

f′(x) = u′(v(x)) * v′(x)

f(x) = 3x + (2x + x2)10

f′(x) = 3 + 10 * (2x + x2)9 * (2 + 2x)